Arbre pondéré - Activité

La principale d'un collège a proposé à l'ensemble des professeurs une formation sur l'utilisation des nouveaux écrans numériques interactifs installés dans les salles de classe.

Dans ce collège, 60 % des professeurs sont âgés de moins de 50 ans et, parmi eux, 45 % ont suivi la formation.

On sait également que 35 % des professeurs âgés de 50 ans ou plus ont suivi cette formation.

On interroge au hasard un professeur de ce collège et on considère les événements :

• \(A\)  : « Le professeur interrogé est âgé de moins de 50 ans » ;
• \(F\)  : « Le professeur interrogé a suivi la formation ».
  

Les événements contraires des événements \(A\) et \(F\) sont notés \(\overline{A}\) et \(\overline{F}\) .

1. On a représenté cette situation à l'aide d'un arbre pondéré. Recopier cet arbre qui sera complété au fur et à mesure.

2. À quoi correspond le nombre 0,6 figurant sur la branche qui mène à l'événement \(A\) ?

Calculer \(P(\overline{A})\) et compléter la branche qui mène à l'événement \(\overline{A}\) .

3. Quelle est la valeur de \(P_A(F)\) , la probabilité que le professeur ait suivi la formation sachant qu'il est âgé de moins de 50 ans ?

Sur quelle branche de l'arbre retrouve-t-on cette probabilité ?

4. a. Donner la valeur de \(P_{\overline{A}}(F)\) puis compléter l'ensemble de l'arbre pondéré.

    b. Que peut-on dire de la somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même nœud ?

5. a. Exprimer \(P(A \cap F)\) en fonction de \(P(A)\) et \(P_A(F)\) .

    b. En déduire la valeur de \(P(A \cap F)\) .

    c. Sur l'arbre, repasser en rouge le chemin associé à l'événement \(A \cap F\) .

Comment peut-on retrouver, grâce à l'arbre pondéré, le résultat de la question précédente ?

6. a. Exprimer \(P(\overline{A} \cap F)\) en fonction de \(P(\overline{A})\)  et \(P_{\overline{A}}(F)\) .

    b. En déduire la valeur de \(P(\overline{A} \cap F)\) .

    c. Sur l'arbre, repasser en vert le chemin qui mène à l'événement \(\overline{A} \cap F\) .

Comment peut-on retrouver, grâce à l'arbre pondéré, le résultat de la question précédente ?

7. On admet la propriété suivante : « La probabilité d'un événement est égale à la somme des probabilités des chemins menant à cet événement. »

Calculer, à l'aide de cette propriété, la probabilité de l'événement \(F\) .